برای انجام هر پژوهش، دو موضوع مورد توجه می باشد. اول اینکه چگونه پژوهش را انجام دهیم و یک مقاله بنویسیم، دوم اینکه درباره چه چیزی تحقیق کنیم.
از اهداف «اولین سمینار دانش آموزی ریاضیات و کاربردها» آشنایی دانش آموزان با پژوهش و آشنایی بیشتر با شاخه های ریاضی و افزایش اطلاعات عمومی در این زمینه می باشد. به همین منظور در کارگاه آشنایی با ریاضیات به معرفی ریاضیدانان، شاخه های ریاضی و ارتباط بین آن ها پرداخته شده.
هدف این کارگاه دادن کلیدواژه به دانش آموزان برای پژوهش می باشد، و هدف معرفی کامل آن ها نیست. ریاضیدانان معرفی شده فقط چهره از هزاران ریاضیدان است که با تحقیق درباره آن ها می توان به نام ریاضیدانان دیگر رسید. همچنین، شاخه های ریاضیات معرفی شده، تعداد انگشت شماری از شاخه های ریاضیات می باشد.
در ادامه مطلب به بیان چکیده مطالب ارائه شده در کارگاه خواهیم پرداخت.(این پست به مرور تکمیل می‌شود)
شاید این سوال در ذهن شما هم بوجود آمده باشد که ریاضیات از کجا آمده؟ شاید از مریخ!
چه کسی ریاضیات را اختراع کرده؟ ریاضیات را کسی اختراع نکرده، بلکه ریاضی یک سری روابط موجود در جهان است که ریاضیدانان به کشف آن ها و مدل سازی آن ها به زبان ریاضی پرداخته اند.
یکی دیگر از سوالاتی که به ذهن خطور می کند، این است که ریاضیات از کی وجود داشته؟ ریاضی از زمان انسان های اولیه وجود داشته، فقط زبان و کاربردهای آن متفاوت بوده. از اولین اسنادی که متون ریاضی را نشان می دهد، لوح گلی بابلیان مربوط به 2000 سال قبل از میلاد مسیح می باشد.
ما از کودکی با ریاضیات آشنا شدیم. مفاهیمی همچون شمارش، مقایسه (دو تا شکلات بیشتر است یا سه تا)، محاسبات (از پنج تا شکلات دو تا را برداشتیم، چند تا باقی می ماند) و ... . مفاهیمی از ریاضیات که ما می آموزیم مفاهیم انتزائی هستند و برای آموزش آن نیاز به کلاس و کتاب خاصی نیست.
اما از جایی به بعد ریاضیات سخت شد. چه چیزی باعث شد که ریاضیاتی که ما به صورت ذاتی درک می کردیم، دشوار شد. از زمانی که به صورت آکادمیک و مشخص به آموزش ریاضیات به ما پرداختند، ترس ما از ریاضی زیاد شد. شاید دلیل این حس درباره ریاضیات این است که نمی دانیم این مطالبی که ما می آموزیم از کجا به وجود آمده و کاربردش در چیست؟
حساب، هندسه، امار، مشتق، تابع و ...، همه این ها چطور به ذهن ریاضی دانان رسیده؟ آیا آن ها گوشه ای نشستند و توافق کردند و به تعریف مواردی پرداختند و به ساخت ریاضیات مشغول شدند؟!
برای پاسخ دادن به اینکه چطور موضوعات ریاضی به ذهن ریاضی دانان خطور کرده، باید به این سوال پاسخ بدهیم که اول مرغ بوده با تخم مرغ؟! یا بهتر بگوییم، اول ریاضیات بوجود آمده و بعد کاربردی برای آن پیدا شده، یا نیازی باعث شده که ریاضیاتش بوجود آید؟
احتمالا با تصویر این مرد آشنا هستید، حتی اگر این مرد را نشناسید با دیدن تصویر سمت راست، او را خواهید شناخت. بله، نیوتون و داستان معروف سیبش. ما نیوتون را به عنوان یک فیزیکدان با قوانین سه گانه اش می شناسیم. اما باید بدانید، نیوتون بیش از آنکه فیزیکدان باشد، ریاضیدان است.
نیوتون کارهای زیادی درباره نور، عدسی ها و حتی تجزیه نور با منشور انجام داد. اما از مهمترین کارهای او بررسی قوانین حرکت و مدل سازی آن ها می باشد. اما زمانی که نیوتون شروع به دسته بندی قوانین حرکت کرد، به یک خلأ در ریاضیات برخورد. هیچ ابزاری برای بیان قوانین حرکت به زبان ریاضی وجود نداشت. پس نیوتون مجبور شد این ابزارهای ریاضی را بوجود آورد.
شاخه ای از ریاضیات که نیوتون برای بیان قوانین حرکت ابداع نمود، را با نام حساب دیفرانسیل و انتگرال می شناسیم. نیوتون، برای بیان آهنگ تغیرات، مشتق را ساخت و با استفاده از آن معادله حرکت را تعریف نمود. برای بدست آوردن جواب معادله حرکت معادلات دیفرانسیل را تعریف نمود و برای حل آن ها انتگرال را ایجاد نمود.
یکی از ویژگی های شاخص نیوتون بدخلق بودن اوست. از ویژگی های دیگر او این بود که تا زمانی که مطالب علمی او کامل نمی شد، آن ها را منتشر نمی کرد.
چند ماه پس از اینکه نیوتون در انگلستان توانست قوانین حساب دیفرانسیل و انتگرال را یافته بود، فردی در آلمان اقدام انتشار مقاله ای کرد که مطالبی مشابه با کارهای نیوتون داشت. نام این ریاضی دان لایب نیتز بود که جداگانه و بدون اطلاع از کارهای نیوتون با ایده متفاوتی به کشف حساب دیفرانسیل رسیده بود و امروزه ما از نمادهای او بیشتر در حساب و دیفرانسیل استفاده می کنیم.
نیوتون از آقای لایب نیتز شکایت کرد و دادگاهی برای رسیدگی به شکایت نیوتون تشکیل شد. دادگاه به این نتیجه رسید که اولین نفر نیوتون بوده که این مطالب را یافته، ولی اولین نفر لایب نیتز آن ها را منتشر کرده و هیچ سرقت علمی رخ نداده. اما نیوتون از این رای دادگاه راضی نبود و سال های سال با لایب نیتز سر دعوا داشت، که بحث های آن ها داستان های جالبی دارد.
باید بدونید که شغل اصلی نیوتون در دستگاه حکومتی و خزانه داری انگلستان بوده و نیوتون از قدرت و نفوذی برخوردار بوده. سرانجام نامه ای به دست لایب نیتز می رسه که اعلام میکنه دادگاه رأی به محکومیتش داده. جالبه بدونید قاضی این دادگاه خود نیوتون بوده.
حالا ببینیم این حساب دیفرانسیلی که گفتیم به دلیل نیاز فیزیکی آن ساخته شده و دعواهای بسیاری بر سر آن شده چه کاربردهایی دارد. در حالت کلی هرگاه جایی بحث از تغیرات باشد، پای حساب دیفرانسیل به میان می آید.
از اولین جاهایی که حساب دیفرانسیل بکار برده شد همان قوانین حرکت است که توسط نیوتون دسته بندی شد و بعدها گسترش بافت.
یکی دیگر از مسئله هایی که با حساب دیفرانسیل حل می شود، مسئله گرما نام دارد. در نظر بگیرید میله ای را روی شعله قرار داده اید. با تغیر زمان دمای میله تغیر می کند، حتی با تغیر فاصله روی میله از شعله هم دما تفاوت دارد. پس دمای میله وابسته به مکان و زمان است. از این معادله می توان در شبیه سازی کوره های دمای بالا یا حتی اتفای حریق جنگل ها و ساختمان های بزرگ استفاده کرد تا قبل از هر حادثه و فاجعه ای جلوی آن را گرفت.
هر نوع جریان الکتریکی و تغیرات بار الکتریکی را با حساب دیفرانسیل می سنجند، که خود مبحثی تخصصی است و در درس فیزیک به آن پرداخته می شود.
یکی از مسئله های مهم که در سد سازی هم مورد توجه قرار می گیرد، مسئله غلظت است. با تغیر حجم آب یک سد غلظت املاح و شوری آب نیز تغیر می کند، اما با افزایش سطح آب تماس آب با دیواره های حوزچه سد بیشتر می شود و املاح بیشتری وارد آب می شود که باعث افزایش غلظت و شوری آب می شود. قبل از ساخت سد می توان با استفاده از حساب دیفرانسیل مدل سازی کرد و بررسی کرد آیا غلظت آب بیش از حد مجاز است یا مناسب است. حتی می توان مشخص نمود بهترین ارتفاع آب برای کمترین املاح چقدر است.
مسئله جالب توجه دیگر، مسئله شکار و شکارچی است. گاهی پیش می آید برای نجات یک گونه از انقراض گونه های دیگری را به حد انقراض برسانیم. باید در نظر داشته باشیم تغیر جمعیت هر گونه جانوری باعث تغیر جمعیت گونه های دیگر جانوری می شود. فرض کنید برای جلوگیری از انقراض روباه قرمز چند روباه را در دشتی رها سازی کنیم. با افزایش جمعیت روباه، شکار خرگوش ها افزایش می یابد و جمعیت خرگوش ها کاهش می یابد. با کاهش جمعیت خرگوش ها، غذای کافی برای روباه ها وجود ندارد و جمعیت روباه ها کم می شود. با کم شدن جمعیت روباه ها این امکان بوجود می آید تا جمعیت خرگوش ها افزایش می یابد. با افزایش خرگوش ها و افزای غذای روباه ها، جمعیت روباه ها دوباره افزایش می یابد. و این چرخه ادامه دادر. اما اگر تعداد افزایش و کاهش بیش از تحمل آن گونه باشد، احتمال انقراض نسل یا افزایش بی رویه جمعیت آن ها وجود دارد که باید قبل از هرگونه دستکاری در طبیعت با استفاده از حساب دیفرانسیل آن را مورد مطالعه قرار داد.
از دیگر کاربردهای حساب دیفرانسیل بحث بهینه سازی است که در کتاب های درسی نیز به آن اشاره شده. البته مبحث بهینه سازی بسیار گسترده تر از حساب دیفرانسیل است و جداگانه در شاخه ای با عنوان پژوهش عملیات یا تحقیق در عملیات مورد مطالعه قرار می گیرد.
اجازه بدید با داستانی آشنا از کتاب‌های درسیبحث رو ادامه بدیم. پادشاهی بود که مثل بقیه پادشاهان علاقه زیادی به جواهرات داشت، به همین منظور مقداری طلا به جواهردسازی داد تا برایش تاجی بسازد. بعد از اینکه تاج آماده شد، پادشاه شک کرد که نکند جواهر ساز از همه طلاها برای ساخت تاج استفاده نکرده باشد. برای همین تاج را وزن کردند. وزن تاج با وزن طلاها برابر بود، اما از کجا معلوم که جواهر ساز به جای طلا از فلز ارزان‌تر دیگری استفاده نکرده باشد؟ تنها راهی که به ذهنشان می‌رسید این بود که تاج را ذوب کنند. اما پادشاه دوست نداشت تاج زیبایش را خراب کنند.
یک کیلو گرم آهن و یک کیلو گرم چوب از نظر وزن با هم برابرند، اما از نظر حجم تفاوت دارند. مواد مختلف با وزن یکسان فضای متفاوتی اشغال می‌کنند. با توجه به همین اصل ساده ارشمیدس ابتدا با استفاده از ظرف آب حجم طلای هم وزن با تاج را اندازه گرفت، سپس حجم تاج را اندازه گرف و متوجه شد حجم تاج از حجم طلاها بیشتر است، یعنی جواهر ساز از فلزی غیر از طلا در ساخت تاج استفاده کرده.
ویژگی که ارشمیدس از آن استفاده کر را به عنوان چگالی می‌شناسیم. حجم یک کیلوگرم چوب را در نظر بگیرید. حجم دو کیلو چوب چند برابر است؟ حجم سه کیلو چوب چند برابر است؟ پس باید از مفهوم چند برابری یا تناسب بین وزن و حجم را بدست آوریم.
از کاربردهای چگالی، در ساخت هواپیما می‌باشد. ساخت سازه‌ای عظیم با کمترین وزن ممکن.
ارشمیدس به عنوان ریاضیدان کارهای زیادی انجام داده. ارشمیدس سلاحی جنگی طراحی نمود به نام تندر ارشمیدس که نوعی منجنیق است. همچنین، با اطلاع از ویژگی بازتابی سهمی، و با استفاده از آینه نور خورشید را منعکس می‌کرد و کشتی‌های دشمن را پیش از اینکه به ساحل برسند آتش می‌زد. دانش ارشمیدس شهر را تبدیل به دژی نفوذ ناپذیر تبدیل کرده بود.
از کارهای دیگر ارشمیدس مارپیچ ارشمیدس و پیچ ارشمیدس می‌باشد که با کمک آن آب را از سطح پایین به بالا انتقال می‌داد که نوعی موتور پمپ آب است.
ارشمیدس قوانین قرقره مرکب و اهرم را مدون نمود و آنقدر به قدرت آن‌ها اطمینان داشت که ادعا کرد؛ تکیه گاهی به من بدهید تا زمین را جابجا کنم.
ارشمیدس برای اولین بار موفق شد تدد پی را به صورت تقریبی به عنوان نسبت محیط به قطر دایره را محاسبه نماید و مطالعات بسیاری درباره دایره داشت.
هرچند دانش ارشمیدس شهر را به دژی نفوذ ناپذیر تبدیل کرده بود، با حیله رومی‌ها در جنگی که به جنگ تروا مشهور است (احتمالا داستان آن را خوانده‌ای یا فیلم آن را دیده‌اید) یونانی‌ها را شکست دادند. به پاس دانش ارشمیدس، رومی‌ها با به او امان دادند.
یکی از روزها که ارشمیدس مشغول حل مسئله‌ای روی شن‌های ساحل بود، سربازی مست پا روی مسئله ارشمیدس گذاشت. ارشمیدس به سرباز اعتراض کرد و سرباز با ضربه شمشیر او را کشت. آخرین جمله‌ای که ارشمیدس گفت این بود؛ دایره مرا خراب نکن.
ارشمیدس برای آنکه اهمیت کارهایش درباره کره و استوانه را نشان دهد، وصیت کرده بود روی قبرش کره و استوانه‌ای رسم نمایند.
گفتیم از اصلی‌ترین محورهای کاری ارشمیدس هندسه بود. یکی دیگر از افرادی که در این شاخه شهرت داد اقلیدس است. از کارهای اقلیدس دسته بندی و اثبات اتحادهای جبری با روش هندسی می‌باشد.ا
اما چیزی اقلیدس به آن شهرت داد به عنوان پدر علم هندسه می‌باشد. اقلیدس برای اولین بار اصول هندسه را تدوین نمود و هندسه را بر پنج اصل بنا نهاد که به عنوان اصول اقلیدس شناخته می‌شود.
هرچند هندسه‌ای که ما می‌شناسیم با اصول اقلیدس سازگار است، اما در اندازه‌عای بزرگتر اصل پنجم اقلیدس مورد تردید قرار می‌گیرد.
لوباچفسکی برای اولین بار در مقاله‌ای اصول اقلیدس را زیر پا گذاشت و هندسه جدیدی را طرح ریزی کرد، از این رو لوباچفسکی را به عنوان پدر هندسه نااقلیدسی می‌شناسند. هندسه نااقلیدسی بر دو نوع هندسه کروی و هندسه هذلولوی می‌باشد، که هندسه لوباچفسکی از نوع دوم است. در هندسه کروی ممکن است مجموع زوایای داخلی مثلث بیشتر از ۱۸۰ درجه باشد و در هندسه هذلولوی مجموع زوایای داخلی وثلث از ۱۸۰ درجه کمتر است.
لوباچفسکی در نامه‌ای کشف خود را برای دوستش گاوس فرستاد. گاوس پس از خواندن مقاله و نامه لوباچفسکی مختصر در جوابش نوشت؛ مطلب علمی خوبیست! فکر می‌کنید چرا گاوس اینطور بی‌تفاوت نامه لوباچفسکی را جواب داد؟ دلیلش این بود که گاوس بیست سال پیش از آن این ایده به ذهنش رسیده بود، اما گاوس این خصلت را داشت که کارهایش را منتشر نمی‌کرد.
گاوس نابغه و ریاضیدانیست که احتمالا همه ما داستانی از زندگی او را شنیده‌ایم. در سن پنج سالگی معلم از او خواست از یک تا صد را با هم جمع نماید. و او با یافتن روشی، این کار را در کمترین زمان ممکن انجام داد. بروز نبوغ گاوس در ریاضیات پیش از این بوده، و در سن سه سالگی موفق به یافتن اشتباه محاسباتی پدرش در حساب‌ها شده بود.
گاوس در سن دوازده سالگی هندسه اقلیدسی را زیر سوال برد و در سن چهارده سالگی از رساله دکتری خود دفاع نمود. امروزه رساله دکتری او را به عنوان قضیه اساسی جبر می‌شناسیم که درک صورت آن برای دانش‌آموزان چندان سخت نیست و کافیست با مجموعه اعداد مختلط به عنوان توسیعی از اعداد حقیقی آشنا شوید.
گاوس در بسیاری از زمینه‌های علمی فعالیت داشته و نام او را به کرات خواهید شنید. از فعالیت‌های او به عنوان قانون مویینگی، قانون عدسی‌ها و ساخت لنز مرکب گاوسی است که لنزهای پیشرفته دوربین‌های امروزی نیز بر پایه آن می‌باشند.
گاوس در زمینه مغناطیس فعالیت‌های بسیاری داشت و در زمینه بار الکتریکی قانونی با عنوان قانون گاوس دارد. از استفاده‌های این دانش، ساخت تلگراف الکترو مغناتیسی است که اجداد تلفن‌های امروزیست.
روش حذفی حل دستگاه معادلات که در پایه نهم می‌خوانیم، ساده شده روش حذفی گاوس می‌باشد. گاوس در زمینه آمار و احتمال هم فعالیت‌های بسیاری داشت و تابع توزیع گاوسی را در این زمینه داریم.
فعالیت‌های کاری گاوس بسسار زیاد است. گاوس در سن ۹۰ سالگیدگفته بود؛ تمام کارهایی که تا کنون انجام دادم، فقط ایده‌ها و سوالاتی بود که از ۱۲ سالگی تا ۱۴ سالگی به ذهنم رسیده!
گاوس و لوباچفسکی هندسه کلاسیک اقلیدسی را پشت سر گذاشتند و هندسه جدیدی را پایه گذاشتند، اما این شروع هندسه جدید بود. ریمان با گسترش ایده‌های هندسه نا اقلیدسی، هندسه‌ای را بنا نهاد که به هندسه ریمانی شهرت دارد. هندسه جدید ویژگی‌های بیشتری از فضا را نشان می‌داد و می‌توان ابعاد بالاتر فضا را با آن به تصویر کشید.
همه انیشتین را به عنوان فیزیکدان و با نظریه نسبیتش می‌شناسیم. انیشتین ایده نظریه نسبیت را داشت، اما زبان ریاضی لازم برای بیان آن وجود نداشت. انشتین بر خلاف نبوغ بی نظیزش، مانند نیوتون توان ساخت ابزار ریاضی مورد نیازش را نداشت. تا اینکه ریمان به معرفی هندسه ریمانی پرداخت و انشتین با کمک آن سه بعد را به عنوان فضا و یک بعد را به عنوان زمان و خمیدگی را به عنوان گرانش در نظر گرفت و به توصیف نظریه نسبیت عام و خاص پرداخت.
با ظهور هندسه ریمانی نظریات انیشتین با سرعت شروع به گسترش پیدا کرد، به طوری که انیشتین می‌گوید؛ از روزی که ریاضیدانان از سر کول نظریه نسبیت بالا رفتند، خودم هم از آن سر در نمی‌آورم!
انیشتین با نظریات خود به مطالعه سیاه چاله‌ها پرداخت. همچنین، با کشف فرمول معروف خود انرژی درونی ذرات را محاسبه مرد که اولین گام در دانش هسته‌ای می‌باشد.
تا زیاد از هندسه فاصله نگرفته‌ایم به یک ریاضیدان دیگر اشاره کنیم، ریاضی دانی که در تصویر می‌بینید، یعنی فرما، وصیت می‌کند بر روی قبرش هفده ضلعی منتظم رسم نمایند! چرا؟
از اطلاعات پایه هشتم می‌دانیم برای بدست آوردن زاویه‌های داخلی هفده ضلعی باید ۱۸۰ را در ۱۵ ضرب کنیم و بر ۱۷ تقسیم کنیم که عدد بدست آمده عددی اعشاری می‌باشد که پیدا کردن چنین زاویه‌ای دشوار است و برای رسم آن باید از ترکیب چندین روش رسم و تقسیم کردن استفاده کنیم. فرما اولین کسی بود که موفق به رسم هفده ضلعی منتظم شد. اشکالی را که بتوان آن‌ها را با یک خط کش غیر مدرج و پرگار رسم نماییم را اشکال جبری می‌نامیم که ایده جالبی برای مطالعه می‌باشد.
از دیگر کارهای فرما در زمینه هندسه تحلیلی می‌باشد که آشنایی ما با هندسه تحلیلی در کتاب‌های درسی با مقاطع مخروطی می‌باشد که کاربردهای زیادی در معماری و مهندسی دارد که می‌توان نمونه‌هایی از کاربرد آن در معماری ایرانی یافت.
جالب است بدانید فرما به صورت تخصصی به عنوان ریاضیدان شناخته نمی‌شود و حرفه اصلی او حقوق می‌باشد و یک حقوقدان است. فرما صرفا به عنوان تفریح به مطالعه ریاضی می‌پرداخته. شهرت اصلی فرما در زمینه نظریه اعداد می‌باشد.
